求全国各省市的2011年高考数学题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数，为z的共轭复数，则
(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i
2. 函数的反函数为

(A) (B)
(C) (D)
3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
(A) (B) (C) (D)
4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
5.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
(A) (B) 3 (C) 6 (D) 9
6.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于
(A) (B) (C) (D) 1
7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种
8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D) 1
9.设是周期为2的奇函数，当时，，则
(A) (B) (C) (D)
10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则
(A) (B) (C) (D)
11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为
(A) (B) (C) (D)
12. 设向量满足，则的最大值等于
(A) 2 (B) (C) (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.
13. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .
14. 已知，，则 .
15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则 .
16. 已知点E、F分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C

18.（本小题满分12分）
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，
AB=BC=2，CD=SD=1.
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）
设数列满足
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：。

21.（本小题满分12分）
已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）
（Ⅰ）设函数，证明：当时，
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：

2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工类）试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1． B 2． B 3． A 4． D 5．C
6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13． 0 14． 15． 6 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.（本小题满分10分）
解：由，得
故，
由，
故，
又显然，故，再由，
解得：，于是

18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3
故，
所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为
（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为
所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
显然，X服从二项分布，即,
所以
X的期望为20
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1， ，
易算得：，
又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，
所以,
于是,,
所以
（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，
因为，所以,从而,
因而可以算得：，又，故
又因为,所以点C到平面SAB的距离为
另外，显然，
所以
得：
设AB与平面SBC所成的角为，则
，
即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角）

20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由得：
数列是等差数列，首项为
故，从而
（Ⅱ）
所以

21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：易知：，故：，代入椭圆方程得：，
设，则，，
因为所以
，将此坐标代入椭圆：，
所以点P在C上。
（Ⅱ）由（Ⅰ）：及，得，因为，所以
于是可以算得：，，，
,,
于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）时，，
于是在上单调增，所以
（Ⅱ）
（共有对数相乘）

由（Ⅰ），时，也有，
故在上单调增，所以
即
即，两边同时取的对数得：
综上所述：

你是人渣！