2007年北京数学高考题最后一道题

第一问：
具有性质P的集合满足集合内没有0及相反数
因此集合{-1,2,3}满足性质P
则：
a∈A,b∈A,(a+b)∈A时，a=-1,b=3或a=3,b=-1
S={(-1,3),(3,-1)}
a∈A,b∈A,(a-b)∈A时，a=2,b=-1或a=2,b=-3
T={(2,-1),(2,3)}

第二问：
设集合A中有k个元素，那么集合T中最多有k^2个元素，即n≤k^2（A中任意两个元素a,b都能满足a∈A,b∈A,(a-b)∈A时，n=k^2）
当集合A满足性质P时：
ai≠0,ai+aj≠0
因此：
集合T中不包含(ai,ai)（ai-ai=0，0∉A），此类数对共k个
集合T中数对(ai,aj)与数对(aj,ai)不同时存在（若同时存在，(ai-aj)∈A且(aj-ai)∈A，(ai-aj)+(aj-ai)=0，此时集合A不满足性质P），因烂态此数对数量减半
那么：
n≤(k^2-k)/2
即：
n≤k(k-1)/2

第三问锋埋：
(1)
当(a,b)∈S时，(b,a)∈S，(a+b,b)∈T，(a+b,a)∈T（(a+b)∈A）
当数对(a,b),(c,d)都属于S时，a=c与b=d不同时成立，因此a+b=c+d与b=d不同时成立，因此当数对(a,b),(c,d)都属于S时，数对(b,a),(d,c)都属于S，数对(a+b,b),(c+d,d),(a+b,a),(c+d,c)都属于T
此时m≤n（此时只证明了对于S中任意有序数对，都可在T中找饥基源到相应有序数对）
(2)
当(a,b)∈T时，(a-b,a)∈S（(a-b)∈A）
当数对(a,b),(c,d)都属于T时，a=c与b=d不同时成立，因此a-b=c-d与a=c不同时成立，因此当数对(a,b),(c,d)都属于S时，数对(a-b,a),(c-d,c)都属于T
此时n≤m（此时只证明了对于T中任意有序数对，都可在S中找到相应有序数对）
由(1),(2)得出结论：
m=n

注：
1.小括号内为注解，不是解题过程
2.与试卷解析解题思路相同，但过程更详细，如果还有不懂得地方，请追问