高一数学竞赛题

　　设 f(x)是满足下列条 件的函数：
　　(1) 若 x > y 且 f(x) + x ≥ ω ≥ f(y) + y ，则存在实数 z∈[y , x]，使得f(z) = ω - z ；
　　(2) 方程 f(x) = 0 至少有一个解，并在该方程的解中存 在一个解不大于所有其它的解；
　　(3) f(0) = 1 ；
　　(4) f(-1999) ≤ 2000 ；
　　(5) f(x)f(y) = f[xf(y) + yf(x) + xy] ；
求 f(-1999) 的值

　　已知条件很多，直接和所求结果密切相关的只有条件(4),由于条件(4)为f(—1999)≤2000，若我们还能推导f(－1999)≥2000，则f(－1999)的值就只能为2000，这是这种构造性题目的共同点.
　　解： 令 F(x) = f(x) + x，则根据条件(3)有， F(0) = f(0) + 0 = 1
由条件(2)，可设 m 是f(x) = 0 的最小根，则F(m) = m ①

　　首先证明这里的最小值 m 是正值，证明如下：
　　假如m ＜ 0，则对于 ω = 0，由条件(1)及 F(0)≥ω≥F(m)
　　也就是： 1 = f(0) + 0 = F(0)≥ω≥F(m) = f(m) + m = m
　　得到
　　存在 z ∈[m，0]，使得 F(z) = ω = 0
　　根据条件(5)可知
　　0 = f(z)* 0 = f(z)f(m)
　　= f[z f(m) + m f(z) + zm]
　　= f[m (f(z) + z)]
　　= f[m F(z)]
　　= f[m F(z)]
　　= f(0)
　　= 1
显然0≠1，这是因为假设m ＜ 0而导致的矛盾，所以，m ＞ 0

　　接上面的①式继续，
　　对于任意实数 x，因为m 是f(x) = 0 的最小根，由条件(5)有
　　0 = f(x)f(m) = f[x f(m) + u f(x) + xm]
　　= f[m (f(x) + xm)]
　　所以， f(x) + xm 一定是方程f(x) = 0 的实根 ②
　　而上面的①中假设 m 是f(x) = 0 的最小根
　　所以 mf(x) + xm ≥m
　　从而，f(x) + x ≥ 1
　　即f(x)≥1 - x
　　所以 f(-1999)≥2000
　　考虑到条件(4)中的 f(－1999)≤2000
所以 f(-1999) = 2000