2009高考数学文科全国卷1答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参中岩考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式

如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径

一、选择题
（1） 的值为
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。
解： ，故选择A。
(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集 ，则集合 中的元素共有
(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个
【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同理1）
解： ， 故选A。也可用摩根定律：
（3）不等式 的解集为
（A） （B）
（C） （D）
【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。
解： ，
故选择D。
（4）已知tan =4,cot = ,则tan(a+ )=
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。
解：由题 ， ，故选择B。
（5）设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于
（A） （B）2 （C） （D）
【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线旁樱的离心率，基础题。
解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，因渐近线与抛物线相切，所以 ，即 ，故选择C。
（6）已知函数 的反函数为 ，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
【解析】本小题考查反函数，基础题。
解：由题令 得 ，即 ，又 ，所以 ，故选择C。
（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种
【解析】本小题考查分类计卖启御算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。
解：由题共有 ，故选择D。
（8）设非零向量 、 、 满足 ，则
（A）150° （B）120° （C）60° （D）30°
【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。
解：由向量加法的平行四边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻边，且 、 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。
（9）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理7）
解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D
(10) 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。
解: 函数 的图像关于点 中心对称
由此易得 .故选A
（11）已知二面角 为600 ，动点P、Q分别在面 内，P到 的距离为 ，Q到 的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为
【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理10）

解:如图分别作
，连
，
又
当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。
（12）已知椭圆 的右焦点为F,右准线 ，点 ，线段AF交C于点B。若 ,则 =
(A) (B) 2 (C) (D) 3
【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。
解：过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A

2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修 选修Ⅰ）
第Ⅱ卷

注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效）
（13） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于_____________.
【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）
解: 因 所以有
（14）设等差数列 的前 项和为 。若 ，则 _______________.
【解析】本小题考查等差数列的性质、前 项和，基础题。（同理14）
解: 是等差数列,由 ,得
。
(15)已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆 的面积为 ，则球 的表面积等于__________________.
【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。
解：设球半径为 ，圆M的半径为 ，则 ，即 由题得 ，所以 。
（16）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则 的倾斜角可以是
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。
解：两平行线间的距离为 ，由图知直线 与 的夹角为 ， 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写①或⑤
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)
设等差数列{ }的前 项和为 ，公比是正数的等比数列{ }的前 项和为 ，已知 的通项公式.
【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 项和，基础题。
解：设 的公差为 ，数列 的公比为 ，
由 得 ①
得 ②
由①②及 解得
故所求的通项公式为 。
(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）
在 中，内角 的对边长分别为 .已知 ，且 ，求 .
【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。
解：由余弦定理得 ，
又 ，
，
即 ①
由正弦定理得
又由已知得
，
所以 ②
故由①②解得

(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ，点 在侧棱 上，
（Ⅰ）证明： 是侧棱 的中点；
（Ⅱ）求二面角 的大小。（同理18）
解法一：
（I）
作 ‖ 交 于点E，则 ‖ ， 平面SAD
连接AE，则四边形ABME为直角梯形
作 ，垂足为F，则AFME为矩形
设 ，则 ，

由
解得
即 ，从而
所以 为侧棱 的中点
（Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M为SC中点
，故
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角
连接 ，在 中，

所以
二面角 的大小为
解法二:
以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设 ，则
（Ⅰ）设 ,则

又
故
即
解得 ，即
所以M为侧棱SC的中点
（II）
由 ，得AM的中点
又

所以
因此 等于二面角 的平面角

所以二面角 的大小为

(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。
【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。
解：记“第 局甲获胜”为事件 ，“第 局乙获胜”为事件 。
（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
，由于各局比赛结果相互独立，故

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
，由于各局比赛结果相互独立，故

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线 上，若该曲线在点P处的切线 通过坐标原点，求 的方程
【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。
解：（Ⅰ）
令 得 或 ；
令 得 或
因此， 在区间 和 为增函数；在区间 和 为减函数。
（Ⅱ）设点 ，由 过原点知， 的方程为 ，
因此 ，
即 ，
整理得 ，
解得 或
因此切线 的方程为 或
(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，已知抛物线 与圆 相交于A、B、C、D四个点。
（Ⅰ）求 的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。
解：（Ⅰ）将抛物线 代入圆 的方程，消去 ，
整理得 ①
与 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根
由此得
解得
又
所以 的取值范围是
（II） 设四个交点的坐标分别为 、 、 、 。
则由（I）根据韦达定理有 ，
则

令 ，则 下面求 的最大值。
方法1：由三次均值有：

当且仅当 ，即 时取最大值。经检验此时 满足题意。
方法2：设四个交点的坐标分别为 、 、 、
则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为 。
设 ，由 及（Ⅰ）得
由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则
将 ， 代入上式，并令 ，得
，
∴ ，
令 得 ，或 （舍去）
当 时， ；当 时 ；当 时，
故当且仅当 时， 有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为