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问题描述:

已知二次函数f(x)=ax^2+x.

(1)若对任意x1,x2∈R ,有

f[(x1+x2)/2]≤(1/2)[f(x1)+f(x2)]求实数a的取值范围：

（2）若x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围。

解析:

问题（1）

因为：f(x)=ax^2+x

所以：

f[(x1+x2)/2]＝a[(x1+x2)/2]^2 + (x1+x2)/2

(1/2)[f(x1)+f(x2)]＝(1/2)[(ax1^2 + x1) + (ax2^2 + x2)]

由f[(x1+x2)/2]≤(1/2)[f(x1)+f(x2)]

得到：

a[(x1+x2)/2]^2 + (x1+x2)/2 <= (1/2)[(ax1^2 + x1) + (ax2^2 + x2)]

=》

a[(x1+x2)/2]^2 <= (a/2)(x1^2 + x2^2)

=》

a(2x1x2) <= a(x1^2 + x2^2)

显然对任意x1,x2∈R 有 x1^2 + x2^2 >= 2x1x2

所以，得到当a>=0 时，不等式

a(2x1x2) <= a(x1^2 + x2^2)成立

但由于题意，f(x)为二次函数，所以a不能为0，所以

a的取值范围是a>0

问题（2）

用物毕亏作图法解最快 f(x) = ax^2 + x 恒过点（0,0）

讨论图像开口方向

a>0 开口向上 且 x∈[0，1]时 f(x)>= 0 所以|f(x)|=f(x) 而对称轴-1/(2a)<0，所以 x∈[0，1] f(x)是递增的

f(1)最大 因此得：f(1)<=1 得到 a+1<=1 得到 a<=0

a<0 开口向下 此时对称轴-1/(2a)>0 因此图像最大值在x=-1/(2a)取到

分开讨论-1/(2a)的大小

如果-1/(2a)>=1 得到a>=-1/2 那么，x∈[0，1] f(x)是递增的，且f(x)>=0 所以|f(x)|=f(x) f(1)最大 因此得：f(1)<=1 得到 a+1<=1 得到 a<=0

综合得到 -1/2<= a < 0

如果-1/(2a)<1 得到 a< -1/2 那么,x∈[0，1] f(x)在

[0,-1/(2a)]上递增 [-1/(2a),1]上递减

那么由|f(x)|<=1 得到：

f(-1/(2a))<= 1

|f(1)| <= 1

得到：a<= -1/4

-2<= a <= 0

综合得到数氏 -2<=a<-1/2

综合图像讨论，得到a的取值范围[-2,0）

图形解题其实很直观，只是这罩神里没有图形，所以写起来比较麻烦