2005年沈阳市中等学校招生统一考试
数 学 试 卷
*考试时间120分钟,试卷满分150分
得 分 评卷人
一、选择题(下面各题的备选答案中,只有一个是正确的,将正确的答案的序号填在题后的括号内。每小题3分,共24分)
.函数 中自变量x的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
.在半径为1的⊙O中,120º的圆心角所对的弧长是 ( )
A. B. C. D.
.已知直线 ,当 时,直线不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
.用换元法解分式方程 ,若设 ,则原方程可化为关于 的整式方程为 ( )
A. B. C. D.
.抛物线 的顶点坐标为 ( )
A.( , ) B.( , ) C.( , ) D.( , )
.如图1,梯形护坡石坝的斜坡 的坡度 1:3,坝高 为2米,则斜坡 的长是 ( )
A. B.
C. D.
.已知两圆的半径分别是2和3,两圆的圆心距是4,则这两个圆的位置关系是 ( )
A.外离 B.外切 C.相交 D. 内切
.沈阳市的春天经常刮风,给人们的出行带来很多不便,小明观测了4月6日的连续12个小时的风力变化情况,并画出了风力随时间变化的图象(如图2),则下列说法正确的是 ( )
在8时至14时,风力不断增大
在8时至12时,风力最大为7级
8时风力最小 D.20时风力最小
得 分 评卷人
二、填空题(每小题3分,共24分)
.点 ( , )关于原点对称的点的坐标是 .
.一元二次方程 的根是 .
.一组数据 ,0,1,2,3的方差是 .
.在△ 中, , , 30,则 ∠ 的度数是 .
.如图3,PB是⊙O的切线,A是切点,D是 上一点,若∠BAC=70,则∠ADC的度数是 .
.已知圆锥的底面半径是2,母线长是4,则并液圆锥的测面积是 .
.已知圆内接正六边形的边长是1,则这个圆的内接正方形的边长是 .
.如图4,⊙M与x 轴相交于点A(2,0),B(8,0),与y轴相切于点C,则圆心M的坐标是 .
得 分 评卷人
三、(第17小题6分,第18、19小题各8分,第20小题10分,共32分)
.计算:
.解方程:
.阅读下列解题过返蔽镇程:
题目:已知方程 的两个实数根是p、q,是否存在m的值,使得p、q满足 ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
解:存在满足题意的m值 .由一元二次方程的根与系数的关系得
p+q=m,pq=1. ∴ . ∵ ,∴m=1.
阅读后回答下列问题:上面的解题过程是否正确?若不正确漏粗,写出正确的解题过程.
.如图5,已知直线 与 轴、 轴分别交于点A、B,与双曲线 ( <0)分别交于点C、D,且C点的坐标为( ,2).
⑴分别求出直线AB及双曲线的解析式;
⑵求出点D的坐标;
⑶利用图象直接写出:当x在什么范围内取值时, > .
得 分 评卷人
四、(每小题10分,共20分)
.某工厂中由若干个形状完全相同的直角三角形铁板(如右图)已知∠ACB=90°,AC=3,BC=4.现准备对两块铁板余料进行裁剪,方案如下:
方案一:如图6,裁出一个扇形,圆心为点C,并且与AB相切于点D;
方案二:如图7,裁出一个半圆,圆心O在BC上,并且与AB、AC分别相切于点D、C;
⑴分别计算以上两种方案裁剪下来的图形的面积,并把计算结果直接填在横线上 .
按照方案一裁出的图形面积是 .
按照方案二裁出的图形面积是 .
⑵写出按照方案二裁出的半圆面积的计算过程.
.如图8所示,A、B为两个村庄,AB、BC、CD为公路,BD为田地,AD为河宽,且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆,共有如下两种铺设方案:
方案一: ; 方案二: .
经测量得 千米, 千米, 千米,∠BDC=45°,∠ABD=15°.
已知:地下电缆的修建费为2万元/千米,水下电缆的修建费为4万元/千米.
⑴求出河宽AD(结果保留根号);
⑵求出公路CD的长;
⑶哪种方案铺设电缆的费用低?请说明你的理由.
得 分 评卷人
五、(12分)
.2005年沈阳市春季房交会期间,某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查,共发放1000份调查问卷,并全部回收.根据调查问卷,将消费者年收入情况整理后,制成表格一;将消费者打算购买住房的面积的情况整理后,制成表格二,并作出部分频率分布直方图(如图9)
表格一(被调查的消费者年收入情况)
年收入(万元) 1.2 1.8 3 5 10
被调查的消费者数(人) 200 500 200 70 30
表格二(被调查的消费者打算购买住房的面积的情况,注:住房面积取整数)
分组(平方米) 频数 频率
40.5~60.5 0.04
60.5~80.5 0.12
80.5~100.5 0.36
100.5~120.5
120.5~140.5 0.20
140.5~160.5 0.04
合计 1000 1.00
请你根据以上信息,回答下列问题:
⑴根据表一可得,被调查的消费者平均年收入为 万元;被调查的消费者年收入的中位数是
万元;在平均数、中位数这两个数中, 更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平.
⑵根据表二可得,打算购买100.5~120.5平方米房子的人数是 人;打算购买住房面积不超过100平方米的消费者的人数占被调查人数的百分数是 .
⑶在图9中补全这个频率分布直方图.
得 分 评卷人
六、(12分)
.如图10,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC,交直线BC于点E,交⊙O于点D.
⑴过点D作MN‖BC,求证:MN是⊙O切线;
⑵求证:
⑶如图11,AE平分∠BAC的外角∠FAC,交BC的延长线于点E,EA的延长线交⊙O于点D.结论 是否仍然成立?如果成立,请写出证明过程;如果不成立,请说明理由.
得 分 评卷人
七、(12分)
.为实现沈阳市森林城市建设的目标,在今年春季的绿化工作中,绿化办计划为某住宅小区购买并种植400株树苗. 某树苗公司提供如下信息:
信息一:可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种,并且要求购买杨树、丁香树的数量相等.
信息二:如下表:
树苗 每棵树苗批发价格(元) 两年后每棵树苗对空气的净化指数
杨树 3 0.4
丁香树 2 0.1
柳树 p 0.2
设购买杨树、柳树分别为x株、y株.
⑴写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
⑵当每株柳树的批发价p 等于3元时,要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90,应该怎样安排这三种树苗的购买数量,才能使购买树苗的总费用最低?最低的总费用是多少元?
⑶当每株柳树批发价p(元)与购买数量y(株)之间存在关系 时,求购买树苗的总费用w(元)与购买杨树数量x(株)之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
得 分 评卷人
八、(14分)
.如图12,直线 与 x 轴相交于点A,与 y 轴相交于点B,点C(m,n)是第二象限内任意一点,以点C为圆心的圆与 x 轴相切于点E,与直线AB相切于点F.
⑴当四边形OBCE是矩形时,求点C的坐标;
⑵如图13,若⊙C与 y 轴相切于点D,求⊙C的半径r;
⑶求m与n之间的函数关系式;
⑷在⊙C的移动过程中,能否使△OEF是等边三角形(只回答“能”或“不能” )?