中考 数学难题·······给几道 要答案 谢
2010年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算3×( 2) 的结果是
A．5 B． 5 C．6 D． 6
2．如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，
∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于
A．60° B．70°
C．80° D．90°
3．下列计算中，正确的是
A． B． C． D．
4．如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3，
则□ABCD的周长为
A．6 B．9
C．12 D．15
5．把不等式 < 4的解集表示在数轴上，正确的是
6．如图3，在颂亩5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，
那么这条圆弧所在圆的圆心是
A．点P B．点Q C．点R D．点M
7．化简 的结果是
A． B． C． D．1
8．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
9．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是
10．如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是
A．7 B．8
C．9 D．10
11．如图5，已知抛物线 的对称樱哗轴为 ，点A，
B均在抛物线上，且AB与x轴平行，脊樱行其中点A的坐标为
（0，3），则点B的坐标为
A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3） D．（4，3）
12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、
3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子
向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成
一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按
上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是
A．6 B．5 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）
13． 的相反数是 ．
14．如图7，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点A对应的数为 ，则点B所对应的数为 ．
15．在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从图8的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是360元，那么他一次就能猜中的概率是 ．
16．已知x = 1是一元二次方程 的一个根，则 的值为 ．
17．某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB与底面半径OB的夹角为 ， ，
则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）．
18．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分8分）解方程： ．
20．（本小题满分8分）如图11-1，正方形ABCD是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图11-2的程序移动．
（1）请在图11-1中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．
21．（本小题满分9分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．
分 数 7 分 8 分 9 分 10 分
人 数 11 0 8
（1）在图12-1中，“7分”所在扇形的圆心角
等于 °．
（2）请你将图12-2的统计图补充完整．
（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．
（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？
22．（本小题满分9分）
如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数 （x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数 （x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
23．（本小题满分10分）
观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2
是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以
左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且
PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研
究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得
OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；
点Q与点O间的最大距离是 分米；
点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间
的距离是 分米．
（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位
置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l
的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大
的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，
求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
24．（本小题满分10分）
在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交
于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD
的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到
图15-2，其中AO = OB．
求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3，求 的值．
25．（本小题满分12分）
如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ，AD = 6，BC = 8， ，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
26．（本小题满分12分）
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y = x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ．
2010年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试题参考答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 D C D C A B B A C B D B
二、填空题
13. 14.5 15. 16.1 17.36 π 18. =
三、解答题
19．解： ， ．
经检验知， 是原方程的解．
20．解： （1）如图1；
【注：若学生作图没用圆规，所画路线光滑且基本准确即给4分】
（2）∵ ，
∴点P经过的路径总长为6 π．
21．解：（1）144；
（2）如图2；
（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；
由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲
校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，
乙校的成绩较好．
（4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得
10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．
22．解：（1）设直线DE的解析式为 ，
∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），∴
解得 ∴ ．
∵ 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，
∴ 点M的纵坐标为2．
又 ∵ 点M在直线 上，
∴ 2 = ．∴ x = 2．∴ M（2，2）．
（2）∵ （x＞0）经过点M（2，2），∴ ．∴ .
又 ∵ 点N在BC边上，B（4，2），∴点N的横坐标为4．
∵ 点N在直线 上， ∴ ．∴ N（4，1）．
∵ 当 时，y = = 1，∴点N在函数 的图象上．
（3）4≤ m ≤8．
23．解：（1）4 5 6；
（2）不对．
∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2，
∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．
（3）① 3；
②由①知，在⊙O上存在点P， 到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是 OP．
连结 P，交OH于点D．
∵PQ， 均与l垂直，且PQ = ，
∴四边形PQ 是矩形．∴OH⊥P ，PD = D．
由OP = 2，OD = OH HD = 1，得∠DOP = 60°．
∴∠PO = 120°．
∴ 所求最大圆心角的度数为120°．
24．解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ，
∴△BOE ∽ △AOC．
∴ ．
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得 BE = BD．∴ ．
25．解：（1）y = 2t；（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，
∴PQ = 6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ ．
∵AB = ，∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面
积为 ．
②若点P从点B向点M运动，由题意得 ．
PQ = BM + MQ BP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的
延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则
HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，
∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD
的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 ．
（3）能．4≤t≤5．
26．解：（1）140 57500；
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x ，
w外 = x2＋（150 ）x．
（3）当x = = 6500时，w内最大；分
由题意得 ，
解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 = ．
若w内 ＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内 ＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．
3. (2011江苏常州,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,
求证:四边形BCDE是菱形.
【答案】证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°。
又E为AB中点，∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE
∴∠ DBE =∠EDB
又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB
∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC
∴BC∥DE.
∵EB∥CD
∴四边形BCDE是平行四边袭岁形
∵BC=CD
∴四边形BCDE是菱形。
5. （2011北京市，22，5分）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
请你回答：图2中△BDE的面积等于 ．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 ．
【答案】解：△BDE的面积等于 1 ．
（1）如图
以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是 △CFP ．
（2）以AD、BE|、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．
6. （2011贵州遵义，26，12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、
D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA
向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延P长线于点H，设动点、Q移动的时间为t（单位：秒，0
（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长氏烂是否发生
改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改
变，请说明理由。
【答案】（1）当四边形PCDQ为平行四边形时。
PC=DQ
即，20－2t=t
t=
∴t=时，四边形PCDQ为平行四边形。
（2）PH的值不会发生变化。
AD∥BC
∴△QDE∽△PBE
∴PH的长为20.
8. （2011四川广元，21，8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD，E、F分别为AB、BC的中点．求证：
（拍核睁1）四边形AFCD为矩形；
（2）FE⊥DE．
【答案】证明：（1）∵BC＝2AD，点F是BC的中点，
∴BF＝FC＝AD．
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD为平行四边形．
又∵DC⊥BC，
∴四边形AFCD为矩形．
（2）∵四边形AFCD为矩形，且∠B＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB．
又∵点点E是AB的中点，
∴BF＝BE＝EF＝BF，即△BEF是等边三角形．
∴∠BEF＝60°．
∵AE＝BE＝BF＝CF＝AD，∠BAD＝120°，
∴∠AED＝（180°－120°）＝30°，
∴∠FED＝180°－∠BEF－∠AED＝90°，即FE⊥DE．
9. （2011福建三明，21，12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠CBD；（3分）
（2）若∠C＝2∠E，求证：AB＝DC；（4分）
（3）在（2）的条件下，sinC＝，AD＝，求四边形AEBD的面积．（5分）
【答案】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠CBD
∵AB＝AD
∴∠ADB＝∠ABD
∴∠ABD＝∠CBD
（2）∵AE∥DB
∴∠E＝∠CBD
由（1）得∠ABD＝∠CBD
∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠E
又∵∠C＝2∠E
∴∠ABC＝∠C
在梯形ABCD中，∴AB＝DC
（3）过D作DF⊥BC，垂足为F，由sinC＝，得＝
由（2）有CD＝AB，又AB＝AD＝，
∴ CD＝，DF＝
∵AD∥BC，AE∥DB
∴四边形AEBD的平行四边形
∴S四边形AEBD＝AD·DF＝×＝
10．（2011内蒙古赤峰，24，12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。
（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求证：四边形ABCD是直角梯形。
【答案】解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点。
当y=0时，x=－3，∴点A的坐标为（－3，0）
当x =0时，y= 3，∴点B的坐标为（0，3）
把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：
解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴C点的坐标为（-1，4）。
（2）证明：
方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;
∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.
在Rt△AOB中，；
在Rt△ANC中， ；
在Rt△CMB中，；
∴，∴∠ABC=90°
∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四边形ABCD是直角梯形
方法（二）：设直线BC的解析式为y=mx+3；
把C（-1，4）代入，得m=－1；
∴直线BC的解析式为y=－x+3；
当y=0时，x=3，则E点的坐标为（3，0），即OE=3 ；
∵A（－3，0）、B（0，3）；
∴OA=OB=OE=3 。
∵∠BOA=∠BOE =90°
∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°；
∴∠ABE=90°；
∴∠ABC=90°；
∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四边形ABCD是直角梯形
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