一道2008年的全国高考题目

acosB-bcosA=3c/5
sinAcosB - sinBcosA = 3sinC/5 (由正弦定理 得到)
sinAcosB - sinBcosA = 3sin(A + B)/5 (由三角形内角和 180 ° 得到)
sinAcosB - sinBcosA = (3/5)(sinAcosB + sinBcosA)
所以 (2/5)sinAcosB = (8/5)sinBcosA
即 a*cosB = 4*b*cosA (由正弦定理 得到)
所以 tanAcotB = (sinA*cosB)/(cosAsinB)
= a*cosB/(b*cosA) (由正弦定理 得到)
= 4

acosB-bcosA=3c/5，该式中的a.b.c可以换成其相对应的正弦值。

(1)由正弦定理可知：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,R为三角形外接圆的半径。
则acosB-bcosA=3c/5可化为：sinAcosB-sinBcosA=3sinC/5
且sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sinAcosB-sinBcosA=3(sinAcosB+sinBcosA)/5 两边同时除以cosAsinB,即可求出tanAcotB的值（tanAcotB=sinAcosB/cosAsinB）
（2）由sinAcosB-sinBcosA=3(sinAcosB+sinBcosA)/5得sin(A-B)=3sin(A+B)/5
又tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=sin(A+B)/cos(A-B)

又sin(A-B)=3sin(A+B)/5得cos(A-B)=4sin(A+B)/5或-4sin(A+B)/5
所以，tan（A+B）的最大值为5/4

第二问有点不确定。。。。

画图如下：

acosB=BD    bcosA=AD      AD+BD=AB=c

所以，AD=c/5，BD=4c/5

tanAcotB=CD/AD * BD/CD=BD/AD=4