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数学题,急……

1.有n个数,x1,x2,....xn,它们中的每一个均为+1或-1,若x1x2+x2x3+...+xnx1=0,求证:n是的倍数。2.已知整系数方程x的立方+b*x的立方+cx+d=0,求证:它没有整数根。
被浏览: 0次 2023年05月30日 17:42
热门回答(2个)
游客1

1.第一题是要证明n是悔郑2的倍数吗?没写清楚……
如果要证明n是2的倍数,比较简单,反证法,利用一个结论“奇数个奇数的和不可能为偶数”
假碧盯颂设n为奇数,则x1x2+x2x3+...+xnx1共有n项(奇数项),由于x1,x2,....xn中的每一个均为+1或-1,则x1x2+x2x3+...+xnx1每一项均为奇数,这样就有奇数(n)个奇数项(x1x2)的和为偶数(0),这是不正确的,所以假设不成立,n为偶数。
证明的则御关键是证明“奇数个奇数的和不可能为偶数”,这也很简单,首先,每个奇数都可以表示为一个偶数+1的形式,这样奇数个奇数的和可以表示为奇数个偶数相加与奇数个1相加的和,利用结论“偶数之和仍为偶数”(这个应该无需证明),则奇数个奇数的和等于一个偶数(奇数个偶数的和)与一个奇数(奇数个1相加)相加,结果必然为奇数,得证。
2.感觉题目条件没给全,如果只要求b、c、d为整数的话,很容易构造出b、c、d的值让方程x的立方+b*x的立方+cx+d=0有根1,比如x=1是方程的根,那么有1+b+c+d=0,很容易构造b=c=1,d=-3就行了;即使限制b、c、d为正整数,也很容易构造有根x=-1的情况,假如x=-1是方程的根,则-1-b-c+d=0,构造b=1=c,d=3即可。
所以,感觉题目条件可能没给全,有错误……
(以上纯属个人见解,有错误恳请不吝指正!)

游客2

同求。