高三数学题

解答:

先证明一个不等式:
若 m > 0, n > 0
则 (m - n)² ≥ 0, m² + n² ≥ 2mn
所以， 当 m = n，m² + n² = 2n²， 2mn = 2n²
因此， 当 m = n 时，m² + n² 取得极小值 2mn。

令 m = a + 1/a， n = b + 1/b
所以，当 a + 1/a = b + 1/b 时，(a + 1/a)(b + 1/b)将取得极小值。

因为 a + b = 1
所以 (1 - b) + 1/(1 - b) = b + 1/b
b(1 - b)² + b = b²(1 - b) + (1 - b)
2b³ - b² + 2b - 1 = 0, (2b - 1)(b² + 1) = 0,
所以 b = ½， a = ½
所以 (a + 1/a)(b + 1/b) ≥ [½ + 1/(½)][½ + 1/(½)] = (5/2)² = 25/4

因此有：(a + 1/a)(b + 1/b) ≥ 25/4.

令a=sinx2 b=cosx2
（a+1/a）(b+1/b)=(sinx2+1/sinx2)(cosx2+1/cosx2)
=2sinx2cosx2+ctgx2+tgx2
=2sinx2cosx2+1/sinx2cosx2
=sin2x2/2+4/sin2x2

令sin2x2=y，则0《=y《=1
原式=y/2+4/y
剩下的不会了，呵呵

把原式展开就得到＝AB+1/AB+A/B+B/A:由勾勾函数的知识可知，取得最小值时A=B=0.5,所以最小值为1/4+4+1+1=25/4,所以原式恒大于等于25/4

试试柯西不等式？
柯西不等式：方和积大于积和方