数学经典例题(初中阶段)

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加强初中数学课本例题 提高学生解题能力2002-12-15 11:09:00 点击数：3230 来源：周云清
近年来，各地的中考数学试题，不少题型是课本中的例题(或习题)变形、变换式引伸、推广而来的，它对初中数学教学起到良好的导向作用。这就要求我们教师在平时的教学中一定要切实而有效地引导学生学好课本上的例题或习题，并通过一些相关的练习，使学生在解题时能知常达变、举一反三、真正提高解题能力。当前，社会上的"数学资料"名目繁多，对教学冲击较大，不少学生盲目地陷在无止境的题海中不能自拔，因此，加强对课本例题、习题的教学，正是坚持以本为本，对端正教风和学风是十分有益的。
一、一题多解、拓广思路
在一个题目的众多解法中，要引导学生比较、权衡各种解法的利弊、优劣，找出解决问题的简捷思路，这对拓广学生思路，提高解题速度将是大有裨益的。
例1、 如图，矩形AB_CD中，AB
例2、 ＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE AM,
E是垂足.
求证：
(浙江教育出版社《数学》第五册作业题)
证明：(一)
学生板演后，进行比较，显而易见，解法(五)思路清晰、敏捷，是最可取的。紧接着，我出示了下题。
例2：如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC=8cm。O0是以BC为直径的圆。设AD边上有一动点P(不运动至A,D)，BP交O0于点Q，解答下列问题：
1、设线段BP为Xcm，线段CQ为ycm，求y关于x的函数关系式和自变量X的取值范围；
2、求当BP＝CQ时S BQC 与S PAB的比。
(浙江教育出版社《数学》第五册例题)
学生直观地观察到例2与例1的相关关系，即在原图形上叠加圆，因此，要解例2就得运用圆的有关性质。课本上已有解法，那么你有其它较简捷的方法吗？提出问题后，学生很自然地联想到例1，连结CP，利用面积法来解题。
一题多解的实质是解题或证题以不同的方式反映条件和结论之间的本质联系，从不同的角度，不同的方法思考问题，探求不同解答的方案，从而拓广思路，使思维向多方向发展，这对培养学生的发散性思维能起到重要的作用。
二、一题多变、以少胜多
将例2中的AD平移交O0于E、F。问AE等于DF吗？学生利
用矩形，平行弦的性质。
然后证Rt ABE
Rt DCF，得AE=DF。
又将图2－1中的BC移动，变矩形为梯形与圆的位置关系，再连结BE、CF，然后出示例3。
例3.已知：如图，BC是O0的直径，AD是弦，AB EF，
垂足为A。CD EF，
垂足为D，CD与O0
相交于G。
1、 求证：AE=DF，AB=DG
2、设AB=a，AD＝b，CD＝c，求证：tg ABE和tg ABF是方程ax2－bx+c=0的两个实数根，且b2－4ac>0。
3、指出当EF与O0是什么位置关系时b2－4ac＝0。
(91年广西中考题)
通过以上变换，我们让学生看到了，如此纷繁的习题，竟是同源之流。因此改变题目的条件和结论，有效地将数学学科中的分科知识：韦达定理、四边形、切割线定理、三角函数等等有机的融合在一起，这对提高学生综合分析问题和解扰扰行决问题的能力是大有帮助的。
三、退化问题，化难为易
例4，如图：在O0中，AB是弦，CD是直径，AB CD，H是垂足，点P在DC的延长线上，且 PAH＝ POA，OH:HC＝1:2，PC=6，
(1)求证：PA是O0的切线，
(2) 求O0的半径的长，
(3)试在ACB上任取一点E(与点A、B不重合)，连结李拍PE并延长与ADB相交于点F，设EH＝x，PF＝y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。(94年上海市中考题)
这是一道综合题，由三个小题组成，不仅知识覆盖面较广，而且解题方法有多种。但通过观察和分析且将它缓哗退化为课本中简单的例题或习题原型，那么问题就迎刃而解了。
如第(2)小题，求证PA是O0的切线，可以与浙江教育出版社《数学》第六册P44例1，已知：A是O0外的一点，AO的延长线交O0上一点B，AB＝BC， C＝30。，求证：直线AB是O0的切线。进行比较，学生自然联想到只须寻找
POA＝90。，问题即可解决。
又对于第(2)小题，求O0的半径的长，即求OA的长，从(1)已知0A是Rt PA0的一直角边，问题就转化为求直角三角形的直角边了。而已知条件0H:HC=1:2，PC＝6，这些线段均落在P0上，P0是Rt PA0的斜边，AH P0。这是学生自然而然地想到运用射影定理来求解，求得半径等于3。
第(3)小题可在浙江教育出版社《数学》第五册作业本上找到原型：如图，在 ABC中，已知AB＝7，BC＝4，AC＝5，点P在AC上移动(不能达到点A)，过P作 DPA＝ B，PD交AB于D，设AP＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围。
学生思路已经展开，通过退化联想，不难发现，连结OF，去寻找 PEH与 POF的相似。由已证得PA是O0的切线，根据切割线定理可得比例线段，易证得 PEH PLF，本题获解。
事物的发展总是由简单到复杂，从低级到高级。当复杂问题使我们的思维受到阻碍时，将它退化到更加简单的原型，也许更能看清问题的真面目，悟出解题的关键。将复杂问题退化到简单情形是解决问题的重要思考方法之一。
综上所述，例题教学是整个初中数学教学中的一个重要环节，例题教学的成败，直接关系到学生对知识的接受和能力的培养；直接关系到学生解题能力的提高。特别在当前要把学生从题海中解脱出来，搞好例题教学是十分必要的，从各地的中考试题中也充分体现出例题教学的重要性。因此，每一位教师在备课时，应该在例题教学的研讨上下一番功夫。

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